MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Considerăm mulțimea M2(R)={(abcd)∣a,b,c,d∈R}M_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\} a matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale. Arătați că M2(R)M_2(\mathbb{R}) cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel. Este acest inel un corp? Argumentați.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Definim mulțimea M2(R)M_2(\mathbb{R}) și operațiile. Adunarea: (abcd)+(efgh)=(a+eb+fc+gd+h)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}. Înmulțirea: (abcd)(efgh)=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}.
24 puncte
Verificăm axiomele inelului:
  • (M2(R),+)(M_2(\mathbb{R}),+) este grup abelian: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar inversul lui AA este −A-A.
  • Înmulțirea este asociativă și are elementul neutru I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Distributivitatea: A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + AC și (A+B)C=AC+BC(A+B)C = AC + BC pentru orice A,B,C∈M2(R)A,B,C \in M_2(\mathbb{R}).
34 puncte
Inelul M2(R)M_2(\mathbb{R}) nu este corp deoarece înmulțirea nu este comutativă (de exemplu, pentru A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0100)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, avem AB=(0100)AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și BA=(0000)BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, deci AB≠BAAB \neq BA) și există matrice nenule care nu sunt inversabile (de exemplu, A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} are determinantul 00, deci nu are invers în M2(R)M_2(\mathbb{R})).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.