MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameNumere Complexe
Considerăm inelul polinoamelor (R[x],+,⋅)(\mathbb{R}[x], +, \cdot). Arătați că acesta este un inel. Este el un corp? Justificați. Apoi, fie mulțimea F={a+bx∣a,b∈R}F = \{ a + bx \mid a, b \in \mathbb{R} \} cu operațiile definite prin (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x(a+bx) + (c+dx) = (a+c) + (b+d)x și (a+bx)⋅(c+dx)=(ac−bd)+(ad+bc)xmod  (x2+1)(a+bx) \cdot (c+dx) = (ac - bd) + (ad+bc)x \mod (x^2+1). Verificați dacă (F,+,⋅)(F, +, \cdot) este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrarea că R[x]\mathbb{R}[x] este un inel: adunarea și înmulțirea polinoamelor sunt asociative și comutative, există elementul neutru pentru adunare 00 și pentru înmulțire 11, iar înmulțirea este distributivă față de adunare; aceste proprietăți rezultă din definițiile standard.
22 puncte
Explicarea că R[x]\mathbb{R}[x] nu este un corp deoarece polinoamele de grad mai mare decât 00, cum ar fi xx, nu au inverse multiplicative în R[x]\mathbb{R}[x] (nu există un polinom p(x)p(x) astfel încât x⋅p(x)=1x \cdot p(x) = 1).
35 puncte
Verificarea că FF este un corp: (F,+)(F, +) este grup abelian cu element neutru 0+0x0+0x; înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, cu element neutru 1+0x1+0x; pentru orice element nenul a+bx∈Fa+bx \in F cu a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0, inversul multiplicativ este aa2+b2−ba2+b2x\frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}x, care aparține lui FF; această structură corespunde corpului numerelor complexe C\mathbb{C}, unde xx joacă rolul lui ii cu i2=−1i^2 = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.