MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate și determinați dacă este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea față de adunare și înmulțire. Pentru orice x,y∈Ax,y \in A, x=a1+b12x = a_1 + b_1\sqrt{2} și y=a2+b22y = a_2 + b_2\sqrt{2} cu ai,bi∈Za_i, b_i \in \mathbb{Z}, atunci x+y=(a1+a2)+(b1+b2)2∈Ax+y = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in A și x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈Ax \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2} \in A, deoarece sumele și produsele de numere întregi sunt întregi.
22 puncte
Se verifică asociativitatea și comutativitatea adunării. Acestea rezultă din proprietățile adunării numerelor reale, deoarece operația este restricționată la A.
32 puncte
Se verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare. Pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A, avem x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z, ceea ce se demonstrează prin calcul direct folosind definițiile.
42 puncte
Se identifică elementul neutru față de adunare ca 0=0+02∈A0 = 0 + 0\sqrt{2} \in A și față de înmulțire ca 1=1+02∈A1 = 1 + 0\sqrt{2} \in A. Se verifică că acestea satisfac proprietățile de neutru.
52 puncte
Se verifică dacă fiecare element nenul din A are invers multiplicativ în A. Fie x=a+b2≠0x = a + b\sqrt{2} \neq 0. Inversul său ar fi 1a+b2=a−b2a2−2b2\frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}, care aparține lui A doar dacă a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1 și numitorul este întreg. De exemplu, pentru x=2x = \sqrt{2}, inversul 12=22\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} nu este în A, deci A nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.