MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} înzestrată cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) formează un inel. Determinați dacă acest inel este domeniu de integritate și dacă este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verifică că adunarea este închisă pe MM și că (M,+)(M,+) este grup abelian: pentru orice x,y∈Mx,y \in M, x+y∈Mx+y \in M; asociativitatea, comutativitatea, elementul neutru 0=0+020=0+0\sqrt{2}, și fiecare element a+b2a+b\sqrt{2} are simetricul (−a)+(−b)2(-a)+(-b)\sqrt{2}.
22 puncte
Verifică că înmulțirea este închisă pe MM și că (M,⋅)(M,\cdot) este monoid comutativ: pentru orice x,y∈Mx,y \in M, x⋅y∈Mx \cdot y \in M; asociativitatea, comutativitatea, și elementul neutru 1=1+021=1+0\sqrt{2}.
32 puncte
Verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare: pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z, folosind proprietățile algebrice ale numerelor reale.
41 punct
Concluzionează că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel comutativ.
52 puncte
Verifică dacă inelul este domeniu de integritate: arată că din x⋅y=0x \cdot y = 0 cu x,y∈Mx,y \in M rezultă x=0x=0 sau y=0y=0, folosind faptul că 2\sqrt{2} este irațional și analizând ecuația (a+b2)(c+d2)=0(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=0.
61 punct
Verifică dacă este corp: pentru un element nenul a+b2≠0a+b\sqrt{2} \neq 0, inversul său este a−b2a2−2b2\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}, care aparține lui MM doar dacă a2−2b2=±1a^2-2b^2 = \pm 1, ceea ce nu este întotdeauna adevărat (de exemplu, pentru a=2,b=1a=2, b=1), deci nu toate elementele nenule au invers în MM, așadar nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.