MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.

Rezolvare completă

  1. 2 puncte: Demonstrați că f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1 este ireductibil peste Z2\mathbb{Z}_2: se evaluează f(0)=1f(0) = 1 și f(1)=1+1+1=1f(1) = 1 + 1 + 1 = 1 în Z2\mathbb{Z}_2, deci nu are rădăcini în Z2\mathbb{Z}_2; fiind polinom de grad 2, ireductibilitatea este echivalentă cu absența rădăcinilor.
  2. 2 puncte: Explicați că dacă f(x)f(x) este un polinom ireductibil peste un corp KK, atunci idealul (f(x))(f(x)) este maximal în K[x]K[x], deci inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp.
  3. 2 puncte: Elementele inelului factor sunt clasele de resturi modulo f(x)f(x) de grad cel mult 1: {0+(f(x)),1+(f(x)),x+(f(x)),x+1+(f(x))}\{0 + (f(x)), 1 + (f(x)), x + (f(x)), x+1 + (f(x))\}, unde 00 și 11 sunt elementele din Z2\mathbb{Z}_2.
  4. 2 puncte: Arătați că aceste patru clase sunt distincte: dacă două polinoame de grad cel mult 1 sunt congruente modulo f(x)f(x), diferența lor este divizibilă cu f(x)f(x), dar gradul diferenței este cel mult 1, deci trebuie să fie polinomul nul.
  5. 2 puncte: Verificați că corpul are 4 elemente: din pașii anteriori, mulțimea are exact 4 elemente; pentru a confirma că este corp, se poate verifica că fiecare element nenul are invers, de exemplu (x+(f(x)))⋅(x+1+(f(x)))=x(x+1)+(f(x))=x2+x+(f(x))(x + (f(x))) \cdot (x+1 + (f(x))) = x(x+1) + (f(x)) = x^2 + x + (f(x)), și cum x2+x≡1mod  f(x)x^2 + x \equiv 1 \mod f(x) (deoarece f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1), rezultă că xx și x+1x+1 sunt inverse unul altuia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Ușor#2PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Mediu#4PolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
În funcție de p, indicați valorile lui a pentru care ecuația x3+2px2+p=ax^3+2p x^2+p=a are trei rădăcini reale distincte.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.