MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți toate polinoamele de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] de forma ax2+bx+cax^2+bx+c cu a,b,c∈Z3a,b,c \in \mathbb{Z}_3, a≠0a \neq 0; verificați ireductibilitatea testând rădăcinile în Z3\mathbb{Z}_3 și factorizările posibile; polinoamele ireductibile sunt x2+1x^2+1, x2+x+2x^2+x+2, x2+2x+2x^2+2x+2 (sau echivalente după simplificări).
23 puncte
Pentru un polinom ireductibil f(x)f(x), arătați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) nu are divizori ai lui zero: presupunând g(x)h(x)≡0mod  f(x)g(x)h(x) \equiv 0 \mod f(x), deduceți că f(x)f(x) divide g(x)h(x)g(x)h(x) și, folosind ireductibilitatea, că f(x)f(x) divide g(x)g(x) sau h(x)h(x), deci clasele sunt zero.
34 puncte
Demonstrați că orice element nenul din Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) are invers: fie [g(x)][g(x)] o clasă nenulă, deci f(x)f(x) nu divide g(x)g(x); folosiți algoritmul lui Euclid pentru polinoame pentru a găsi u(x),v(x)u(x), v(x) astfel încât g(x)u(x)+f(x)v(x)=1g(x)u(x) + f(x)v(x) = 1, de unde [g(x)][u(x)]=[1][g(x)][u(x)] = [1], deci [u(x)][u(x)] este inversul lui [g(x)][g(x)].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#2PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Mediu#4PolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
În funcție de p, indicați valorile lui a pentru care ecuația x3+2px2+p=ax^3+2p x^2+p=a are trei rădăcini reale distincte.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.