MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
În funcție de p, indicați valorile lui a pentru care ecuația x3+2px2+p=ax^3+2p x^2+p=a are trei rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm funcția F(x)=x3+2px2+pF(x)=x^3+2p x^2+p; derivata este F′(x)=3x2+4px=x(3x+4p)F'(x)=3x^2+4px= x(3x+4p), deci punctele critice sunt x1=0x_1=0 și x2=−4p3x_2=-\frac{4p}{3}. Evaluăm valorile: F(0)=pF(0)=p și F(−4p3)=p+32p327F\left(-\frac{4p}{3}\right)=p+\frac{32p^3}{27}.
24 puncte
Pentru ca ecuația F(x)=aF(x)=a să aibă trei rădăcini reale distincte este necesar și suficient ca aa să fie strict între valorile extremelor locale (valorile la punctele critice) și ca aceste extreme să fie distincte, adică p≠0p\neq 0. Astfel, dacă p>0p>0 atunci F(−4p3)=p+32p327>pF\left(-\frac{4p}{3}\right)=p+\frac{32p^3}{27}>p și condiția este p<a<p+32p327p<a<p+\frac{32p^3}{27}; dacă p<0p<0 atunci p+32p327<pp+\frac{32p^3}{27}<p și condiția este p+32p327<a<pp+\frac{32p^3}{27}<a<p.
32 puncte
Observați că pentru p=0p=0 nu există trei rădăcini reale distincte (ecuația devine x3=ax^3=a), deci p≠0p\neq 0 este necesar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.