MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieMatematică aplicată
Fie inelul (Z6,+6,⋅6)(\mathbb{Z}_6, +_6, \cdot_6) al claselor de resturi modulo 6. Determinați elementele inversabile și divizorii lui zero în acest inel. Studiați dacă există un subinel al lui Z6\mathbb{Z}_6 care este corp, justificând răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Elementele lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt {0,1,2,3,4,5}\{0,1,2,3,4,5\}, cu adunarea și înmulțirea definite modulo 6. Se verifică că acestea sunt legi de compoziție închise.\n
23 puncte
Un element a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă există bb astfel încât a⋅6b=1a \cdot_6 b = 1. Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1. Așadar, elementele inversabile sunt 11 și 55, deoarece gcd⁡(1,6)=1\gcd(1,6)=1 și gcd⁡(5,6)=1\gcd(5,6)=1, cu inversele 1−1=11^{-1}=1 și 5−1=55^{-1}=5.\n
32 puncte
Divizorii lui zero sunt elementele a≠0a \neq 0 pentru care există b≠0b \neq 0 cu a⋅6b=0a \cdot_6 b = 0. În Z6\mathbb{Z}_6, avem 2⋅63=02 \cdot_6 3 = 0, 3⋅62=03 \cdot_6 2 = 0, 4⋅63=04 \cdot_6 3 = 0 etc. Deci, divizorii lui zero sunt 2,3,42,3,4.\n
42 puncte
Un subinel care este corp trebuie să fie inel comutativ cu unitate în care fiecare element nenul are invers. Subinelele lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt de forma {0}\{0\}, Z6\mathbb{Z}_6 însuși, sau subinele generate de elemente. De exemplu, {0,2,4}\{0,2,4\} este subinel, dar 22 nu are invers. Similar, {0,3}\{0,3\} nu are invers pentru 33. Așadar, nu există un subinel al lui Z6\mathbb{Z}_6 care este corp, deoarece Z6\mathbb{Z}_6 nu este domeniu de integritate și niciun subinel propriu nu poate fi corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.