MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeLegi de compoziție
Se consideră mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite pe numere reale. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) formează un inel comutativ și unitar. Este acest inel un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că (M,+)(M, +) este grup abelian. Adunarea este internă: (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈M(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in M deoarece a+c,b+d∈Za+c, b+d \in \mathbb{Z}. Asociativitatea și comutativitatea decurg din proprietățile adunării numerelor reale. Elementul neutru este 0=0+02∈M0=0+0\sqrt{2} \in M. Opusul lui a+b2a+b\sqrt{2} este (−a)+(−b)2∈M(-a)+(-b)\sqrt{2} \in M. Deci (M,+)(M,+) este grup abelian.
23 puncte
Verificăm proprietățile înmulțirii și distributivitatea. Înmulțirea este internă: (a+b2)(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈M(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2} \in M deoarece ac+2bd,ad+bc∈Zac+2bd, ad+bc \in \mathbb{Z}. Asociativitatea și comutativitatea înmulțirii decurg din proprietățile numerelor reale. Distributivitatea față de adunare se verifică direct folosind definițiile.
32 puncte
Elementul unitate este 1=1+02∈M1=1+0\sqrt{2} \in M, deoarece 1⋅(a+b2)=a+b21 \cdot (a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2} pentru orice element din MM. Astfel, (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel comutativ și unitar.
42 puncte
Inelul nu este corp. Pentru a fi corp, fiecare element nenul trebuie să aibă invers în MM. Considerăm elementul 2=2+02∈M2=2+0\sqrt{2} \in M, nenul. Presupunem că are invers x+y2∈Mx+y\sqrt{2} \in M cu x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z}, adică 2(x+y2)=1⇒2x+2y2=12(x+y\sqrt{2})=1 \Rightarrow 2x+2y\sqrt{2}=1. Aceasta implică 2x=12x=1 și 2y=02y=0, dar 2x=12x=1 nu are soluție x∈Zx \in \mathbb{Z}. Deci 22 nu are invers în MM, deci MM nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.