MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Considerăm mulțimea Z5={0,1,2,3,4}\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 5. Demonstrați că Z5\mathbb{Z}_5 este un corp. Apoi, rezolvați în Z5\mathbb{Z}_5 sistemul de ecuații: {2x+3y=1x+2y=3\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x + 2y = 3 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificați că (Z5,+)(\mathbb{Z}_5, +) este un grup abelian, adică operația este închisă, are element neutru 0, fiecare element are invers și adunarea este asociativă și comutativă.
23 puncte
Verificați că (Z5∖{0},⋅)(\mathbb{Z}_5 \setminus \{0\}, \cdot) este un grup abelian, adică înmulțirea este închisă pe mulțimea nenulă, are element neutru 1, fiecare element nenul are invers și înmulțirea este asociativă și comutativă. De asemenea, înmulțirea este distributivă față de adunare.
34 puncte
Rezolvați sistemul de ecuații. Scrieți sistemul în Z5\mathbb{Z}_5. Din a doua ecuație, x=3−2yx = 3 - 2y. Înlocuiți în prima ecuație: 2(3−2y)+3y=1⇒6−4y+3y=1⇒6−y=1⇒y=6−1=52(3-2y) + 3y = 1 \Rightarrow 6 - 4y + 3y = 1 \Rightarrow 6 - y = 1 \Rightarrow y = 6 - 1 = 5, dar în Z5\mathbb{Z}_5, 5≡05 \equiv 0, deci y=0y=0. Atunci x=3−2⋅0=3x = 3 - 2 \cdot 0 = 3. Verificați: 2⋅3+3⋅0=6+0=6≡12 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 6 + 0 = 6 \equiv 1 și 3+2⋅0=33 + 2 \cdot 0 = 3, corect. Soluția este (x,y)=(3,0)(x,y) = (3,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.