MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameLegi de compoziție
Se consideră mulțimea A={f∈R[X]∣f(0)=0}A = \{ f \in \mathbb{R}[X] \mid f(0) = 0 \}, unde R[X]\mathbb{R}[X] este inelul polinoamelor cu coeficienți reali. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este inel comutativ și dacă este corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a polinoamelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că (A,+)(A, +) este grup abelian – se arată că suma a două polinoame din AA rămâne în AA (deoarece (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0), elementul neutru este polinomul nul (care aparține lui AA), există opusul, și adunarea este asociativă și comutativă.
23 puncte
Verificarea că (A,⋅)(A, \cdot) este monoid – se arată că produsul a două polinoame din AA rămâne în AA (deoarece (f⋅g)(0)=f(0)⋅g(0)=0(f \cdot g)(0)=f(0) \cdot g(0)=0), înmulțirea este asociativă, și elementul neutru pentru înmulțire este polinomul 11, dar 1(0)=1≠01(0)=1 \neq 0, deci 1∉A1 \notin A; astfel, (A,⋅)(A, \cdot) nu are element neutru în AA, dar inelul nu necesită acest lucru pentru toate elementele, ci doar existența unității dacă este inel unitar; în acest caz, AA nu este inel unitar.
32 puncte
Verificarea distributivității – înmulțirea este distributivă față de adunare, deoarece operațiile sunt cele standard pe polinoame.
42 puncte
Determinarea dacă este corp – deoarece AA nu are element neutru pentru înmulțire (nu este inel unitar), nu poate fi corp; în plus, pentru a fi corp, fiecare element nenul ar trebui să aibă invers, dar polinoamele din AA cu grad mai mare decât 0 nu au inverse polinomiale în AA.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.