MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(a−bba), cu a,b∈R}M = \left\{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, \text{ cu } a,b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că MM este un subcorp al inelului matricelor pătratice de ordin 2 peste R\mathbb{R}, M2(R)M_2(\mathbb{R}), și că MM este izomorf cu corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că MM este nevidă (de ex., matricea zero este în MM pentru a=b=0a=b=0) și închisă față de adunare și înmulțire: pentru A=(a−bba),B=(c−ddc)∈MA=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} \in M, avem A+B=(a+c−(b+d)b+da+c)∈MA+B=\begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} \in M și AB=(ac−bd−(ad+bc)ad+bcac−bd)∈MAB=\begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix} \in M.
22 puncte
Adunarea și înmulțirea pe MM sunt comutative și asociative (se moștenesc de la M2(R)M_2(\mathbb{R})) și înmulțirea este distributivă față de adunare.
32 puncte
Identificați elementele neutre: matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} pentru adunare și matricea identitate (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (corespunzând la a=1,b=0a=1, b=0) pentru înmulțire sunt în MM.
42 puncte
Pentru orice matrice nenulă A=(a−bba)∈MA=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \in M (deci a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0), inversa este A−1=1a2+b2(ab−ba)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, care este în MM (corespunde la aa2+b2,−ba2+b2\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}).
52 puncte
Definiți aplicația ψ:M→C\psi: M \to \mathbb{C} prin ψ(a−bba)=a+bi\psi\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = a+bi. Arătați că ψ\psi este izomorfism de corpuri: este bijectivă, ψ(A+B)=ψ(A)+ψ(B)\psi(A+B) = \psi(A) + \psi(B) și ψ(AB)=ψ(A)ψ(B)\psi(AB) = \psi(A) \psi(B) (folosind calculele de la pasul 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.