MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Fie Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\} subinelul numerelor complexe întregi lui Gauss. Arătați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este un domeniu de integritate dar nu este un corp. Determinați unitățile inelului Z[i]\mathbb{Z}[i].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm închiderea: pentru z1=a+bi,z2=c+di∈Z[i]z_1 = a+bi, z_2 = c+di \in \mathbb{Z}[i], avem z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈Z[i]z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i \in \mathbb{Z}[i] și z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i∈Z[i]z_1 \cdot z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i \in \mathbb{Z}[i].
22 puncte
Z[i]\mathbb{Z}[i] este subinel al lui C\mathbb{C} deoarece conține 00 și 11, și este închis la operații; astfel, moștenește structura de inel comutativ cu unitate de la C\mathbb{C}.
32 puncte
Demonstrăm că Z[i]\mathbb{Z}[i] este domeniu de integritate: dacă z1⋅z2=0z_1 \cdot z_2 = 0, atunci ∣z1∣2⋅∣z2∣2=0|z_1|^2 \cdot |z_2|^2 = 0, unde ∣a+bi∣2=a2+b2|a+bi|^2 = a^2+b^2, deci a2+b2=0a^2+b^2=0 sau c2+d2=0c^2+d^2=0, implicând z1=0z_1=0 sau z2=0z_2=0.
42 puncte
Z[i]\mathbb{Z}[i] nu este corp: de exemplu, elementul 2∈Z[i]2 \in \mathbb{Z}[i] nu are invers în Z[i]\mathbb{Z}[i] deoarece 12∉Z[i]\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}[i].
52 puncte
Unitățile (elementele inversabile) în Z[i]\mathbb{Z}[i] sunt acele u=a+biu = a+bi pentru care există v∈Z[i]v \in \mathbb{Z}[i] cu uv=1uv=1. Aceasta implică ∣u∣2⋅∣v∣2=1|u|^2 \cdot |v|^2 = 1, deci ∣u∣2=a2+b2=1|u|^2 = a^2+b^2 = 1. Soluțiile întregi sunt a=±1,b=0a=\pm1, b=0 sau a=0,b=±1a=0, b=\pm1, deci unitățile sunt ±1,±i\pm 1, \pm i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.