MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3={0,1,2}\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\}. a) Determinați dacă polinomul p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1 este ireductibil în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. b) Dacă da, considerați inelul factor K=Z3[x]/(p(x))K = \mathbb{Z}_3[x] / (p(x)). Arătați că KK este un corp și calculați inversul elementului α=x+1\alpha = x + 1 în acest corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Verificarea ireductibilității lui p(x)p(x). Polinomul p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1 are gradul 2. Pentru a fi ireductibil în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x], nu trebuie să aibă rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3. Calculăm: p(0)=02+1=1≠0p(0) = 0^2 + 1 = 1 \neq 0, p(1)=12+1=2≠0p(1) = 1^2 + 1 = 2 \neq 0, p(2)=22+1=4+1=5≡2(mod3)≠0p(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \equiv 2 \pmod{3} \neq 0. Deoarece niciuna dintre valorile din Z3\mathbb{Z}_3 nu anulează polinomul, acesta este ireductibil.
26 puncte
Construcția corpului KK și calculul inversului. Inelul factor K=Z3[x]/(p(x))K = \mathbb{Z}_3[x] / (p(x)) este un corp deoarece p(x)p(x) este ireductibil. Elementele lui KK sunt clase de echivalență de forma a+bxa + bx, unde a,b∈Z3a, b \in \mathbb{Z}_3 și x2=−1≡2(mod3)x^2 = -1 \equiv 2 \pmod{3}. Pentru α=x+1\alpha = x + 1, căutăm β=c+dx\beta = c + dx astfel încât αβ=1\alpha \beta = 1 în KK. Avem (x+1)(c+dx)=cx+c+dx2+dx=c+(c+d)x+d(2)(x+1)(c+dx) = c x + c + d x^2 + d x = c + (c+d)x + d(2) deoarece x2=2x^2 = 2. Deci =c+2d+(c+d)x= c + 2d + (c+d)x. Aceasta trebuie să fie egal cu 1, adică c+2d=1c + 2d = 1 și c+d=0c+d = 0. Rezolvăm sistemul în Z3\mathbb{Z}_3: din c+d=0c+d=0, avem c=−d≡2d(mod3)c = -d \equiv 2d \pmod{3}. Substituim în prima ecuație: 2d+2d=4d≡d(mod3)2d + 2d = 4d \equiv d \pmod{3} (deoarece 4≡1(mod3)4 \equiv 1 \pmod{3}). Ecuația devine d=1d = 1, deci d=1d=1. Atunci c=2d=2⋅1=2≡2(mod3)c = 2d = 2 \cdot 1 = 2 \equiv 2 \pmod{3}. Verificare: c+2d=2+2=4≡1(mod3)c+2d = 2+2=4 \equiv 1 \pmod{3} și c+d=2+1=3≡0(mod3)c+d=2+1=3 \equiv 0 \pmod{3}. Astfel, inversul este β=2+x\beta = 2 + x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.