MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel comutativ. Este acesta un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm că adunarea este asociativă și comutativă: pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, x+(y+z)=(x+y)+zx+(y+z) = (x+y)+z și x+y=y+xx+y=y+x, ceea ce rezultă din proprietățile adunării numerelor reale.\n
22 puncte
Elementul neutru față de adunare este 0=0+02∈M0 = 0 + 0\sqrt{2} \in M. Simetricul lui a+b2a+b\sqrt{2} este −a−b2∈M-a - b\sqrt{2} \in M.\n
32 puncte
Înmulțirea este asociativă și comutativă: (xy)z=x(yz)(xy)z = x(yz) și xy=yxxy=yx pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, din proprietățile înmulțirii numerelor reale.\n
42 puncte
Distributivitatea: x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, verificată prin calcul direct folosind identități algebrice.\n
52 puncte
Pentru a fi corp, fiecare element nenul trebuie să aibă invers. Considerăm 22∈M2\sqrt{2} \in M, care este nenul. Inversul său ar fi 122=24\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}, care nu este de forma a+b2a+b\sqrt{2} cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}. Așadar, MM nu este corp, deoarece nu toate elementele nenule sunt inversabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.