MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea A={a+b3∣a,b∈Z}A = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel. b) Este (A,+,⋅)(A, +, \cdot) un corp? Justificați. c) Determinați elementele inversabile ale inelului AA și pentru x=2+3x = 2 + \sqrt{3}, găsiți inversul său dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că (A,+)(A, +) este grup abelian: închiderea (a+b3)+(c+d3)=(a+c)+(b+d)3∈A(a+b\sqrt{3}) + (c+d\sqrt{3}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{3} \in A, asociativitatea și comutativitatea rezultă din proprietățile numerelor reale, elementul neutru este 0=0+03∈A0 = 0 + 0\sqrt{3} \in A, iar inversul pentru a+b3a + b\sqrt{3} este −a−b3∈A-a - b\sqrt{3} \in A.
23 puncte
Verificăm înmulțirea: închiderea (a+b3)(c+d3)=(ac+3bd)+(ad+bc)3∈A(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3}) = (ac+3bd) + (ad+bc)\sqrt{3} \in A, asociativitatea și comutativitatea rezultă din proprietățile numerelor reale, iar distributivitatea față de adunare este verificată.
32 puncte
(A,+,⋅)(A, +, \cdot) nu este corp deoarece nu toate elementele nenule au invers în AA; de exemplu, 2∈A2 \in A este nenul, dar inversul său 12\frac{1}{2} nu este în AA deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
42 puncte
Elementele inversabile din AA sunt acele a+b3a + b\sqrt{3} pentru care există c+d3∈Ac + d\sqrt{3} \in A astfel încât (a+b3)(c+d3)=1(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3}) = 1, ceea ce implică a2−3b2=±1a^2 - 3b^2 = \pm 1. Pentru x=2+3x = 2 + \sqrt{3}, avem 22−3⋅12=12^2 - 3\cdot1^2 = 1, deci este inversabil și inversul său este 2−32 - \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.