MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Demonstrați că mulțimea P={a0+a1X+⋯+anXn∣ai∈R,n∈N}P = \{ a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n \mid a_i \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \} a polinoamelor cu coeficienți reali, împreună cu adunarea și înmulțirea uzuală, formează un inel. Este acest inel un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Definim mulțimea PP și operațiile de adunare și înmulțire. Adunarea se face coeficient cu coeficient: (a0+a1X+… )+(b0+b1X+… )=(a0+b0)+(a1+b1)X+…(a_0 + a_1 X + \dots) + (b_0 + b_1 X + \dots) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)X + \dots. Înmulțirea este definită prin convoluție: (∑i=0naiXi)(∑j=0mbjXj)=∑k=0n+m(∑i+j=kaibj)Xk(\sum_{i=0}^n a_i X^i)(\sum_{j=0}^m b_j X^j) = \sum_{k=0}^{n+m} (\sum_{i+j=k} a_i b_j) X^k.
25 puncte
Verificăm axiomele inelului:
  • (P,+)(P,+) este grup abelian: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este polinomul 00, iar inversul lui p(X)p(X) este −p(X)-p(X).
  • Înmulțirea este asociativă și are elementul neutru 11 (polinomul constant 11).
  • Distributivitatea: p(q+r)=pq+prp(q+r) = pq + pr și (p+q)r=pr+qr(p+q)r = pr + qr pentru orice p,q,r∈Pp,q,r \in P.
33 puncte
Inelul PP nu este corp deoarece există polinoame nenule care nu au invers multiplicativ în PP. De exemplu, polinomul XX este nenul, dar orice polinom q(X)q(X) cu X⋅q(X)=1X \cdot q(X) = 1 ar trebui să aibă gradul 00, ceea ce este imposibil deoarece gradul lui X⋅q(X)X \cdot q(X) este cel puțin 11. Astfel, XX nu are invers, deci PP nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.