MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel comutativ. Este acesta un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verificarea închiderii la adunare și înmulțire: pentru orice x,y∈Mx, y \in M, x+y∈Mx+y \in M și x⋅y∈Mx \cdot y \in M, deoarece suma și produsul a două numere de forma a+b2a+b\sqrt{2} cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} sunt tot de aceeași formă. \
22 puncte
Asociativitatea și comutativitatea adunării și înmulțirii: (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z = x+(y+z), x+y=y+xx+y=y+x, (xy)z=x(yz)(xy)z = x(yz), xy=yxxy=yx pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, rezultă din proprietățile operațiilor pe numere reale. \
32 puncte
Existența elementului neutru pentru adunare: 0=0+02∈M0 = 0 + 0\sqrt{2} \in M și a opusului: pentru x=a+b2x = a+b\sqrt{2}, opusul este −a−b2∈M-a - b\sqrt{2} \in M. \
42 puncte
Distributivitatea: x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, ceea ce se verifică prin calcul direct. \
51 punct
Concluzie: (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel comutativ. \
61 punct
Nu este corp deoarece există elemente nenule care nu au invers în MM, de exemplu 2=2+02∈M2 = 2 + 0\sqrt{2} \in M este nenul, dar inversul său 12\frac{1}{2} nu este de forma a+b2a+b\sqrt{2} cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.