MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriGrupuri
Fie inelul Z12\mathbb{Z}_{12} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 12. a) Determinați toate elementele inversabile (unități) din Z12\mathbb{Z}_{12}. b) Demonstrați că mulțimea unităților formează un grup abelian în raport cu înmulțirea. c) Calculați produsul tuturor unităților din Z12\mathbb{Z}_{12}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a găsi unitățile, se rezolvă congruența ab≡1(mod12)ab \equiv 1 \pmod{12} pentru fiecare a∈{0,1,…,11}a \in \{0,1,\dots,11\}. Unitățile sunt acele aa pentru care gcd⁡(a,12)=1\gcd(a,12)=1, adică 1,5,7,111,5,7,11.
24 puncte
Se arată că mulțimea {1,5,7,11}\{1,5,7,11\} este închisă la înmulțire modulo 12, are element neutru 1, fiecare element are invers în mulțime (inversele sunt 1−1=11^{-1}=1, 5−1=55^{-1}=5, 7−1=77^{-1}=7, 11−1=1111^{-1}=11 modulo 12), și operația este asociativă și comutativă, deci formează grup abelian.
33 puncte
Produsul unităților este 1⋅5⋅7⋅11=3851 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385. Calculăm 385mod  12=385−32⋅12=385−384=1385 \mod 12 = 385 - 32 \cdot 12 = 385 - 384 = 1, deci produsul este 1mod  121 \mod 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.