MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] inelul polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3\mathbb{Z}_3. Considerați polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este un corp și determinați numărul de elemente ale acestui corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică că f(x)f(x) este ireductibil în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Calculăm f(0)=1≠0f(0)=1 \neq 0, f(1)=12+1=2≠0f(1)=1^2+1=2 \neq 0, f(2)=22+1=4+1=5≡2mod  3≠0f(2)=2^2+1=4+1=5 \equiv 2 \mod 3 \neq 0, deci f(x)f(x) nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3. Cum gradul lui ff este 2, acesta este ireductibil.
23 puncte
Într-un inel de polinoame peste un corp, dacă un polinom este ireductibil, atunci idealul generat de el este maximal, iar coeficientul inelului prin acest ideal este un corp. Astfel, Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este un corp.
32 puncte
Numărul de elemente ale corpului Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este egal cu 3deg⁡(f)=32=93^{\deg(f)} = 3^2 = 9, deoarece elementele sunt clasele de resturi modulo f(x)f(x), iar fiecare clasă este reprezentată printr-un polinom de grad mai mic decât 2, cu coeficienți din Z3\mathbb{Z}_3.
42 puncte
Concluzie: Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este un corp finit cu 9 elemente.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.