MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Fie C\mathbb{C} corpul numerelor complexe cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Considerăm mulțimea H={a+bi∣a,b∈Z}H = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Demonstrați că (H,+,⋅)(H, +, \cdot) este un inel comutativ, dar nu este un corp. Calculați inversul multiplicativ al elementului 1+i1+i în C\mathbb{C} și verificați dacă acesta aparține mulțimii HH.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se arată că HH este închisă față de adunare și înmulțire: pentru orice a+bi,c+di∈Ha+bi, c+di \in H, avem (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈H(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i \in H și (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i∈H(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i \in H, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}. Identitatea aditivă este 0=0+0i∈H0 = 0+0i \in H, iar inversul aditiv al a+bia+bi este −a−bi∈H-a-bi \in H.
23 puncte
Înmulțirea este comutativă și asociativă în C\mathbb{C}, deci și în HH, iar legile distributive sunt satisfăcute, confirmând structura de inel comutativ.
32 puncte
HH nu este corp deoarece există elemente nenule în HH care nu au invers multiplicativ în HH. De exemplu, 2∈H2 \in H este nenul, dar inversul său în C\mathbb{C} este 12\frac{1}{2}, care nu aparține lui HH deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
41 punct
Inversul lui 1+i1+i în C\mathbb{C} se calculează ca 11+i=1−i(1+i)(1−i)=1−i2=12−12i\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i. Acesta nu aparține lui HH deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.