MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea N={(ab0a)∣a,b∈R}N = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\} cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor. Arătați că (N,+,⋅)(N, +, \cdot) este un inel. Studiați dacă acest inel are divizori ai lui zero și dacă este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică închiderea și proprietățile adunării: pentru orice A=(a1b10a1),B=(a2b20a2)∈NA = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix} \in N, avem A+B=(a1+a2b1+b20a1+a2)∈NA + B = \begin{pmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ 0 & a_1 + a_2 \end{pmatrix} \in N; adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este O=(0000)∈NO = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in N, iar opusul lui AA este −A=(−a1−b10−a1)∈N-A = \begin{pmatrix} -a_1 & -b_1 \\ 0 & -a_1 \end{pmatrix} \in N.
23 puncte
Se verifică închiderea și asociativitatea înmulțirii: A⋅B=(a1a2a1b2+b1a20a1a2)∈NA \cdot B = \begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2 + b_1a_2 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix} \in N; înmulțirea este asociativă, iar elementul unitate este I=(1001)∈NI = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in N.
32 puncte
Se verifică distributivitatea: pentru orice A,B,C∈NA, B, C \in N, are loc A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C și (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C, ceea ce rezultă din proprietățile operațiilor cu matrice.
42 puncte
Se studiază divizorii lui zero și dacă inelul este corp: inelul are divizori ai lui zero, de exemplu pentru A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0000)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} (dar BB este zero, deci nu e divizor propriu); mai riguros, dacă a=0a = 0, matricea A=(0b00)A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} cu b≠0b \neq 0 are produsul cu orice matrice din NN dând zero doar în anumite condiții; de fapt, pentru A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0000)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, A⋅B=OA \cdot B = O, dar BB este zero, deci nu sunt divizori proprii; inelul nu este corp deoarece nu toate elementele nenule au invers: de exemplu, pentru A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} (cu a=0a=0), nu există B∈NB \in N astfel încât A⋅B=IA \cdot B = I, deoarece produsul ar avea primul element de pe diagonala principală 00, diferit de 11.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.