MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie K=RK = \mathbb{R} corpul numerelor reale. Se consideră mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Demonstrați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. b) Este (M,+,⋅)(M, +, \cdot) un corp? Justificați răspunsul. c) Calculați inversul multiplicativ al elementului 3+223 + 2\sqrt{2} în MM, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică că (M,+)(M, +) este grup abelian: închiderea (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈M(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in M, asociativitatea, elementul neutru 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}, simetricul −(a+b2)=−a−b2-(a+b\sqrt{2}) = -a - b\sqrt{2}, și comutativitatea.
23 puncte
Se verifică înmulțirea: închiderea (a+b2)(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈M(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} \in M, asociativitatea, și distributivitatea față de adunare.
32 puncte
Pentru a vedea dacă este corp, se observă că nu toate elementele nenule au invers în MM. De exemplu, 2∈M2 \in M este nenul, dar 12∉M\frac{1}{2} \notin M, deci MM nu este corp.
42 puncte
Pentru 3+223 + 2\sqrt{2}, se caută x+y2∈Mx+y\sqrt{2} \in M astfel încât (3+22)(x+y2)=1(3+2\sqrt{2})(x+y\sqrt{2}) = 1. Rezolvând sistemul {3x+4y=12x+3y=0\begin{cases} 3x + 4y = 1 \\ 2x + 3y = 0 \end{cases}, se obține x=3,y=−2x=3, y=-2, deci inversul este 3−22∈M3 - 2\sqrt{2} \in M. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.