MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciDeterminanți
Considerăm inelul matricelor pătratice de ordin 2 cu elemente din corpul Z5\mathbb{Z}_5, notat M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5). Arătați că M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5) este un inel necomutativ. Determinați condițiile pentru care o matrice (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} din M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5) este inversabilă și calculați inversa matricei A=(2131)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} în acest inel.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică că adunarea matricelor este închisă în M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5), asociativă, comutativă, cu element neutru matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și invers adivial pentru fiecare matrice. Înmulțirea matricelor este închisă și asociativă, deoarece operațiile se fac în Z5\mathbb{Z}_5.
23 puncte
Se demonstrează distributivitatea înmulțirii față de adunare: pentru orice matrice X,Y,Z∈M2(Z5)X,Y,Z \in M_2(\mathbb{Z}_5), X(Y+Z)=XY+XZX(Y+Z) = XY + XZ și (Y+Z)X=YX+ZX(Y+Z)X = YX + ZX. Se arată că înmulțirea nu este comutativă prin exemplu, de exemplu, pentru matricele (1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, produsele diferă.
32 puncte
Se concluzionează că M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5) este inel necomutativ. O matrice (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său det⁡=ad−bc\det = ad - bc este inversabil în Z5\mathbb{Z}_5, adică det⁡≠0\det \neq 0 în Z5\mathbb{Z}_5 (deoarece Z5\mathbb{Z}_5 este corp, toate elementele nenule sunt inversabile).
42 puncte
Pentru matricea A=(2131)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, se calculează det⁡(A)=2⋅1−1⋅3=2−3=−1≡4mod  5\det(A) = 2\cdot1 - 1\cdot3 = 2 - 3 = -1 \equiv 4 \mod 5, care este inversabil în Z5\mathbb{Z}_5 cu inversul 44 deoarece 4⋅4=16≡1mod  54 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \mod 5. Inversa este A−1=(det⁡(A))−1⋅(d−b−ca)=4⋅(1−1−32)=(4−4−128)≡(4133)mod  5A^{-1} = (\det(A))^{-1} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -12 & 8 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \mod 5, după reducerea modulo 5: −4≡1-4 \equiv 1, −12≡3-12 \equiv 3, 8≡38 \equiv 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.