MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm că MM este închisă față de adunare și înmulțire. Pentru orice A,B∈MA, B \in M, cu A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} și B=(cd−dc)B = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}, suma este A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈MA+B = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M, iar produsul este A⋅B=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M. Matricea zero (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M este element neutru la adunare, iar adunarea este asociativă și comutativă, cu opusul în MM. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, deci (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel.
23 puncte
Arătăm că orice element nenul din MM are invers. Fie A=(ab−ba)≠0A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \neq 0, deci a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0. Inversa este A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care aparține lui MM deoarece aa2+b2,−ba2+b2∈R\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \in \mathbb{R}. Astfel, MM este un corp.
34 puncte
Rezolvăm X2=−IX^2 = -I în MM. Fie X=(xy−yx)X = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Atunci X2=(x2−y22xy−2xyx2−y2)=(−100−1)X^2 = \begin{pmatrix} x^2 - y^2 & 2xy \\ -2xy & x^2 - y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Obținem sistemul: {x2−y2=−12xy=0\begin{cases} x^2 - y^2 = -1 \\ 2xy = 0 \end{cases}. Din 2xy=02xy=0, avem x=0x=0 sau y=0y=0. Dacă x=0x=0, atunci −y2=−1⇒y2=1⇒y=±1-y^2 = -1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1. Dacă y=0y=0, atunci x2=−1x^2 = -1, imposibil în R\mathbb{R}. Deci soluțiile sunt X=(01−10)X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și X=(0−110)X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Ușor#4MatriciProbabilitățiMatematică aplicată
Un studiu sociologic urmărește migrația populației între trei regiuni: urban, suburban, rural. Matricea tranziției anuale este T=(0.70.20.10.10.60.30.20.20.6)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este proporția care se mută din regiunea jj în regiunea ii într-un an. Dacă la începutul anului, distribuția este (0.4,0.3,0.3)(0.4, 0.3, 0.3), determinați distribuția după doi ani folosind operații cu matrice.
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.