MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că pentru orice a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}, (aI2+bJ)+(cI2+dJ)∈M(aI_2+bJ)+(cI_2+dJ) \in M și (aI2+bJ)(cI2+dJ)∈M(aI_2+bJ)(cI_2+dJ) \in M, calculând explicit și arătând că rezultatele sunt de forma aI2+bJaI_2+bJ.
22 puncte
Arătați că adunarea este asociativă și comutativă, iar matricea zero 0I2+0J0I_2+0J este element neutru; demonstrați existența opusului pentru fiecare element.
32 puncte
Demonstrați distributivitatea înmulțirii față de adunare, folosind proprietățile matricelor și calculând (aI2+bJ)[(cI2+dJ)+(eI2+fJ)](aI_2+bJ)[(cI_2+dJ)+(eI_2+fJ)] și analog.
42 puncte
Identificați elementul unitate ca I2I_2 (corespunzător lui a=1,b=0a=1, b=0) și verificați dacă fiecare element nenul are invers în MM; concluzionați că MM nu este corp deoarece există elemente nenule neinversabile, de exemplu JJ (cu a=0,b=1a=0, b=1).
52 puncte
Determinați condițiile pentru inversabilitate: aI2+bJaI_2+bJ este inversabil dacă și numai dacă a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0, și găsiți inversul ca aa2+b2I2−ba2+b2J\frac{a}{a^2+b^2}I_2 - \frac{b}{a^2+b^2}J.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#3MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Ușor#4MatriciProbabilitățiMatematică aplicată
Un studiu sociologic urmărește migrația populației între trei regiuni: urban, suburban, rural. Matricea tranziției anuale este T=(0.70.20.10.10.60.30.20.20.6)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este proporția care se mută din regiunea jj în regiunea ii într-un an. Dacă la începutul anului, distribuția este (0.4,0.3,0.3)(0.4, 0.3, 0.3), determinați distribuția după doi ani folosind operații cu matrice.
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.