MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

  1. 2 puncte: Verificați că (M,+)(M, +) este un grup abelian: adunarea este internă (pentru orice A,B∈MA, B \in M, A+B∈MA+B \in M), asociativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și fiecare element (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} are opusul (−a−b0−c)\begin{pmatrix} -a & -b \\ 0 & -c \end{pmatrix}. Adunarea este comutativă.
  2. 2 puncte: Verificați că înmulțirea este internă în MM: pentru orice A=(a1b10c1),B=(a2b20c2)∈MA = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix} \in M, A⋅B=(a1a2a1b2+b1c20c1c2)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} a_1 a_2 & a_1 b_2 + b_1 c_2 \\ 0 & c_1 c_2 \end{pmatrix} \in M.
  3. 2 puncte: Verificați că înmulțirea este asociativă: (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, folosind proprietățile înmulțirii matricelor.
  4. 2 puncte: Verificați distributivitatea înmulțirii față de adunare: A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C și (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, prin calcul direct.
  5. 2 puncte: Concluzie: (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel (are și element unitate (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}). Nu este corp deoarece există elemente nenule care nu au invers multiplicativ; de exemplu, (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenul dar determinantul său este 0, deci nu este inversabil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#3MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Ușor#4MatriciProbabilitățiMatematică aplicată
Un studiu sociologic urmărește migrația populației între trei regiuni: urban, suburban, rural. Matricea tranziției anuale este T=(0.70.20.10.10.60.30.20.20.6)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este proporția care se mută din regiunea jj în regiunea ii într-un an. Dacă la începutul anului, distribuția este (0.4,0.3,0.3)(0.4, 0.3, 0.3), determinați distribuția după doi ani folosind operații cu matrice.
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.