MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea R={a+b2∣a,b∈Z}R = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Demonstrați că RR împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite formează un inel. Este RR un corp? Dacă da, argumentați; dacă nu, găsiți un element care nu are invers în RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm că RR este închisă față de adunare și înmulțire. Pentru x=a+b2x = a + b\sqrt{2} și y=c+d2y = c + d\sqrt{2}, avem x+y=(a+c)+(b+d)2∈Rx+y = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in R și xy=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈Rxy = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} \in R.\n
23 puncte
Verificăm proprietățile de inel: asociativitatea și comutativitatea adunării și înmulțirii, precum și distributivitatea înmulțirii față de adunare, care rezultă din proprietățile numerelor reale.\n
32 puncte
Identificăm elementul neutru la adunare 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2} și la înmulțire 1=1+021 = 1 + 0\sqrt{2}, ambele în RR.\n
41 punct
Orice element a+b2a + b\sqrt{2} are inversul aditiv −a−b2∈R-a - b\sqrt{2} \in R.\n
52 puncte
RR nu este corp, deoarece există elemente nenule care nu au invers multiplicativ în RR. De exemplu, pentru 2=2+02∈R2 = 2 + 0\sqrt{2} \in R, presupunem că există inversul x+y2x + y\sqrt{2} cu x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z} astfel încât (2)(x+y2)=1(2)(x + y\sqrt{2}) = 1. Aceasta implică 2x+2y2=12x + 2y\sqrt{2} = 1, deci 2x=12x=1 și 2y=02y=0, ceea ce este imposibil pentru x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Astfel, 22 nu are invers în RR.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.