MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Considerăm inelul Z3={0‾,1‾,2‾}\mathbb{Z}_3 = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} al claselor de resturi modulo 3, cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 3. a) Demonstrați că Z3\mathbb{Z}_3 este un corp. b) Determinați toate polinoamele f∈Z3[X]f \in \mathbb{Z}_3[X] de grad 2 care au rădăcina 1‾\overline{1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm că Z3\mathbb{Z}_3 este inel comutativ cu unitate: adunarea și înmulțirea modulo 3 sunt operații interne, asociative, comutative; adunarea are element neutru 0‾\overline{0}, fiecare element are opus (de exemplu, opusul lui 1‾\overline{1} este 2‾\overline{2}), iar înmulțirea este distributivă față de adunare.
22 puncte
Arătăm că Z3\mathbb{Z}_3 este corp: elementele nenule sunt 1‾\overline{1} și 2‾\overline{2}; 1‾⋅1‾=1‾\overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1} și 2‾⋅2‾=4‾=1‾\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{1} modulo 3, deci fiecare are invers multiplicativ.
35 puncte
Polinoamele de grad 2 sunt de forma f(X)=aX2+bX+cf(X) = aX^2 + bX + c cu a,b,c∈Z3a,b,c \in \mathbb{Z}_3 și a≠0‾a \neq \overline{0}. Condiția f(1‾)=0f(\overline{1}) = 0 dă a+b+c=0‾a + b + c = \overline{0}. Pentru a=1‾a = \overline{1}, avem b+c=2‾b + c = \overline{2}, deci perechile (b,c)=(0‾,2‾),(1‾,1‾),(2‾,0‾)(b,c) = (\overline{0},\overline{2}), (\overline{1},\overline{1}), (\overline{2},\overline{0}). Pentru a=2‾a = \overline{2}, avem b+c=1‾b + c = \overline{1}, deci (b,c)=(0‾,1‾),(1‾,0‾),(2‾,2‾)(b,c) = (\overline{0},\overline{1}), (\overline{1},\overline{0}), (\overline{2},\overline{2}). Astfel, sunt 6 polinoame distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.