MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3\mathbb{Z}_3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Demonstrați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3. Arătați că inelul factor Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este un corp. În acest corp, găsiți inversul elementului x+1‾\overline{x+1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică ireductibilitatea lui f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 peste Z3\mathbb{Z}_3. Deoarece gradul este 2, este suficient să se arate că nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3. Se calculează f(0)=02+1=1≠0f(0)=0^2+1=1 \neq 0, f(1)=12+1=1+1=2≠0f(1)=1^2+1=1+1=2 \neq 0, f(2)=22+1=4+1=5≡2(mod3)≠0f(2)=2^2+1=4+1=5 \equiv 2 \pmod{3} \neq 0. Toate valorile sunt nenule, deci f(x)f(x) nu are rădăcini și este ireductibil.
23 puncte
Întrucât Z3\mathbb{Z}_3 este corp și f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3, idealul (f(x))(f(x)) este maximal. Prin urmare, inelul factor Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este un corp.
34 puncte
În corpul Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)), elementele sunt de forma a+bx‾\overline{a + bx} cu a,b∈Z3a,b \in \mathbb{Z}_3, unde x2≡−1≡2(mod3)x^2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}. Se caută c+dx‾\overline{c + dx} astfel încât (x+1)(c+dx)‾=1‾\overline{(x+1)(c+dx)} = \overline{1}. Calculăm (x+1)(c+dx)=cx+dx2+c+dx=c+(c+d)x+dx2(x+1)(c+dx) = c x + d x^2 + c + d x = c + (c+d)x + d x^2. Cu x2≡2x^2 \equiv 2, avem c+(c+d)x+2d=(c+2d)+(c+d)xc + (c+d)x + 2d = (c+2d) + (c+d)x. Aceasta trebuie să fie congruent cu 1, deci c+2d=1c+2d = 1 și c+d=0c+d = 0 în Z3\mathbb{Z}_3. Rezolvăm sistemul: din c+d=0c+d=0, avem c=−d≡2d(mod3)c = -d \equiv 2d \pmod{3}. Substituim: 2d+2d=4d≡1(mod3)2d + 2d = 4d \equiv 1 \pmod{3}. Dar 4≡1(mod3)4 \equiv 1 \pmod{3}, deci d≡1d \equiv 1. Atunci c=−1≡2c = -1 \equiv 2. Verificare: (x+1)(2+x)=2x+x2+2+x=2+3x+x2=2+x2(x+1)(2+x) = 2x + x^2 + 2 + x = 2 + 3x + x^2 = 2 + x^2, și x2≡−1x^2 \equiv -1, deci 2+(−1)=12 + (-1) = 1. Astfel, inversul lui x+1‾\overline{x+1} este 2+x‾\overline{2 + x}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.