MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Fie pp un număr prim. Considerați inelul Zp\mathbb{Z}_p al claselor de resturi modulo pp. a) Demonstrați că Zp\mathbb{Z}_p este un corp. b) Rezolvați în Z7\mathbb{Z}_7 sistemul de ecuații: {3x+4y=52x+y=3\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x + y = 3 \end{cases}. c) Calculați determinantul matricei A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} în Z5\mathbb{Z}_5 și determinați dacă AA este inversabilă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se arată că Zp\mathbb{Z}_p este inel comutativ cu unitate, iar pentru fiecare element nenul a∈Zpa \in \mathbb{Z}_p, există bb astfel încât ab≡1(modp)ab \equiv 1 \pmod{p} datorită faptului că pp este prim, deci Zp\mathbb{Z}_p este corp.
23 puncte
Se rezolvă sistemul în Z7\mathbb{Z}_7; calculăm determinantul Δ=3⋅1−4⋅2=3−8=−5≡2(mod7)\Delta = 3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 = 3 - 8 = -5 \equiv 2 \pmod{7} (nenul), apoi x=1⋅1−4⋅32=1−122=−112≡32≡3⋅4≡5(mod7)x = \frac{1 \cdot 1 - 4 \cdot 3}{2} = \frac{1 - 12}{2} = \frac{-11}{2} \equiv \frac{3}{2} \equiv 3 \cdot 4 \equiv 5 \pmod{7}, și y=3⋅3−2⋅52=9−102=−12≡3(mod7)y = \frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{2} = \frac{9 - 10}{2} = \frac{-1}{2} \equiv 3 \pmod{7}.
33 puncte
Se calculează det⁡(A)=1⋅4−2⋅3=4−6=−2≡3(mod5)\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \equiv 3 \pmod{5}; deoarece 3≠03 \neq 0 în Z5\mathbb{Z}_5, matricea AA este inversabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.