MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie R[x]\mathbb{R}[x] inelul polinoamelor cu coeficienți reali. Considerăm idealul I=(x2+1)I = (x^2 + 1) generat de polinomul x2+1x^2 + 1 și inelul coeficient R[x]/I\mathbb{R}[x]/I. Demonstrați că R[x]/I\mathbb{R}[x]/I este un corp și calculați inversul elementului 2x+3‾\overline{2x + 3} în acest corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați că II este ideal maximal în R[x]\mathbb{R}[x] deoarece x2+1x^2 + 1 este polinom ireductibil peste R\mathbb{R}, deci inelul coeficient este corp.
24 puncte
Exprimați elementele lui R[x]/I\mathbb{R}[x]/I sub forma a+bx‾\overline{a + bx} cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, unde înmulțirea este definită prin (a+bx)(c+dx)=(ac−bd)+(ad+bc)x(a + bx)(c + dx) = (ac - bd) + (ad + bc)x, ținând cont că x2≡−1(modx2+1)x^2 \equiv -1 \pmod{x^2 + 1}.
33 puncte
Găsiți inversul lui 2x+3‾\overline{2x + 3} rezolvând (2x+3)(c+dx)≡1(modx2+1)(2x + 3)(c + dx) \equiv 1 \pmod{x^2 + 1}, ceea ce conduce la sistemul {3c−2d=12c+3d=0\begin{cases} 3c - 2d = 1 \\ 2c + 3d = 0 \end{cases} cu soluția c=313,d=−213c = \frac{3}{13}, d = -\frac{2}{13}, deci inversul este 313−213x‾\overline{\frac{3}{13} - \frac{2}{13}x}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.