MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie inelul Z5\mathbb{Z}_5 al claselor de resturi modulo 5. Se consideră polinomul f(X)=X3+2X+1∈Z5[X]f(X)=X^3+2X+1 \in \mathbb{Z}_5[X]. a) Determinați toate rădăcinile polinomului ff în Z5\mathbb{Z}_5. b) Descompuneți polinomul ff în factori ireductibili în Z5[X]\mathbb{Z}_5[X]. c) Este Z5[X]/(f)\mathbb{Z}_5[X]/(f) un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Testarea fiecărui element din Z5={0,1,2,3,4}\mathbb{Z}_5=\{0,1,2,3,4\} ca potențială rădăcină: f(0)=1≢0f(0)=1 \not\equiv 0, f(1)=13+2⋅1+1=4≢0f(1)=1^3+2\cdot1+1=4 \not\equiv 0, f(2)=23+2⋅2+1=8+4+1=13≡3≢0f(2)=2^3+2\cdot2+1=8+4+1=13 \equiv 3 \not\equiv 0, f(3)=33+2⋅3+1=27+6+1=34≡4≢0f(3)=3^3+2\cdot3+1=27+6+1=34 \equiv 4 \not\equiv 0, f(4)=43+2⋅4+1=64+8+1=73≡3≢0f(4)=4^3+2\cdot4+1=64+8+1=73 \equiv 3 \not\equiv 0. Deci ff nu are rădăcini în Z5\mathbb{Z}_5.
23 puncte
Deoarece gradul lui ff este 3 și nu are rădăcini, rezultă că ff este ireductibil peste Z5\mathbb{Z}_5 (dacă ar fi reductibil, ar avea un factor de grad 1, deci o rădăcină). Astfel, descompunerea în factori ireductibili este f(X)=X3+2X+1f(X)=X^3+2X+1 (polinomul însuși).
34 puncte
Z5[X]/(f)\mathbb{Z}_5[X]/(f) este un corp dacă și numai dacă ff este ireductibil peste Z5\mathbb{Z}_5. În pasul anterior s-a arătat că ff este ireductibil, deci inelul factor este un corp. Justificare: Z5\mathbb{Z}_5 este corp finit, deci Z5[X]\mathbb{Z}_5[X] este inel principal; idealul (f)(f) este maximal dacă și numai dacă ff este ireductibil, iar inelul factor după un ideal maximal este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.