GreuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

GreuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul polinoamelor Q[x]\mathbb{Q}[x] cu coeficienți raționali. Se consideră polinomul f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2. a) Arătați că idealul generat de f(x)f(x) este maximal, deci inelul factor Q[x]/(x2−2)\mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2) este un corp. b) Descrieți elementele acestui corp și arătați că este izomorf cu corpul Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt{2}).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătarea că idealul (x2−2)(x^2 - 2) este maximal: Polinomul x2−2x^2 - 2 este ireductibil în Q[x]\mathbb{Q}[x] deoarece nu are rădăcini raționale (rădăcinile sunt ±2\pm\sqrt{2}, care nu sunt raționale). Într-un inel principal, idealul generat de un polinom ireductibil este maximal.
23 puncte
Concluzia că inelul factor este corp: Dacă un ideal este maximal într-un inel comutativ cu unitate, atunci inelul factor este corp. Astfel, Q[x]/(x2−2)\mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2) este corp.
33 puncte
Descrierea și izomorfismul: Elementele lui Q[x]/(x2−2)\mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2) sunt clase de echivalență de forma a+bxˉa + b\bar{x}, unde a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} și xˉ2=2\bar{x}^2 = 2. Aceasta definește o structură izomorfă cu Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt{2}), prin corespondența a+bxˉ↔a+b2a + b\bar{x} \leftrightarrow a + b\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.