MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Este acesta un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea mulțimii AA față de adunare și înmulțire. Pentru orice x=a+b2,y=c+d2∈Ax=a+b\sqrt{2}, y=c+d\sqrt{2} \in A, avem x+y=(a+c)+(b+d)2∈Ax+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in A și xy=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈Axy=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2} \in A, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}.\n
23 puncte
Verificăm proprietățile inelului: asociativitatea și comutativitatea adunării și înmulțirii, existența elementului neutru aditiv 0=0+020=0+0\sqrt{2}, existența elementului simetric aditiv pentru fiecare element, și distributivitatea înmulțirii față de adunare. Toate acestea decurg din proprietățile operațiilor pe numere reale.\n
32 puncte
Identificăm elementul neutru multiplicativ: 1=1+02∈A1=1+0\sqrt{2} \in A, deci (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este inel comutativ cu unitate.\n
42 puncte
Verificăm dacă AA este corp. Un corp este un inel comutativ cu unitate în care fiecare element nenul are invers. Considerăm elementul 2∈A2 \in A (adică 2+022+0\sqrt{2}). Inversul său ar fi 12\frac{1}{2}, dar 12∉A\frac{1}{2} \notin A deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}. Prin urmare, AA nu este un corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.