MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. Demonstrați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel comutativ și unitar. Apoi, determinați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea la adunare: pentru orice a1+b12,a2+b22∈Ma_1 + b_1\sqrt{2}, a_2 + b_2\sqrt{2} \in M, suma este (a1+a2)+(b1+b2)2∈M(a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in M deoarece a1+a2,b1+b2∈Za_1+a_2, b_1+b_2 \in \mathbb{Z}.
23 puncte
Arătăm că adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2} și fiecare element are opus: pentru a+b2a+b\sqrt{2}, opusul este −a−b2-a - b\sqrt{2}.
33 puncte
Verificăm înmulțirea: este închisă pe MM (produsul a două elemente din MM rămâne în MM), asociativă, comutativă, are element neutru 1=1+021 = 1 + 0\sqrt{2}, iar distributivitatea față de adunare se verifică direct folosind proprietățile numerelor reale.
42 puncte
Pentru a determina dacă MM este corp, verificăm existența inversului pentru fiecare element nenul. Fie a+b2≠0a+b\sqrt{2} \neq 0; inversul său ar fi 1a+b2=a−b2a2−2b2\frac{1}{a+b\sqrt{2}} = \frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}. Dar a2−2b2a^2-2b^2 nu este întotdeauna inversabil în Z\mathbb{Z} (de exemplu, pentru 2+22+\sqrt{2}, a2−2b2=2a^2-2b^2=2, iar 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}), deci nu toate elementele nenule au invers în MM. Astfel, MM nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.