MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameLegi de compoziție
Fie corpul finit Z5={0,1,2,3,4}\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\} cu adunarea și înmulțirea modulo 5. Se consideră inelul de polinoame Z5[X]\mathbb{Z}_5[X]. Arătați că polinomul f(X)=X2+2f(X) = X^2 + 2 este ireductibil în Z5[X]\mathbb{Z}_5[X]. Construiți corpul K=Z5[X]/(f(X))K = \mathbb{Z}_5[X]/(f(X)) și determinați numărul său de elemente. Calculați (X+3)2(X + 3)^2 în corpul KK.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm ireductibilitatea lui f(X)=X2+2f(X)=X^2+2 în Z5[X]\mathbb{Z}_5[X]. Un polinom de grad 2 este ireductibil dacă nu are rădăcini în Z5\mathbb{Z}_5. Calculăm f(0)=2f(0)=2, f(1)=3f(1)=3, f(2)=4+2=6≡1(mod5)f(2)=4+2=6 \equiv 1 \pmod{5}, f(3)=9+2=11≡1(mod5)f(3)=9+2=11 \equiv 1 \pmod{5}, f(4)=16+2=18≡3(mod5)f(4)=16+2=18 \equiv 3 \pmod{5}. Toate valorile sunt nenule în Z5\mathbb{Z}_5, deci f(X)f(X) este ireductibil.
23 puncte
Corpul KK se construiește ca inel factor Z5[X]/(f(X))\mathbb{Z}_5[X]/(f(X)). Elementele lui KK sunt clasele de echivalență [g(X)][g(X)] cu g(X)∈Z5[X]g(X) \in \mathbb{Z}_5[X], unde [g(X)]={g(X)+h(X)f(X)∣h(X)∈Z5[X]}[g(X)] = \{ g(X) + h(X)f(X) \mid h(X) \in \mathbb{Z}_5[X] \}. Datorită împărțirii cu rest, fiecare clasă poate fi reprezentată unic printr-un polinom de grad mai mic decât 2: aX+baX + b cu a,b∈Z5a,b \in \mathbb{Z}_5.
32 puncte
Numărul de elemente ale lui KK este 52=255^2 = 25, deoarece există 5 alegeri pentru aa și 5 pentru bb în reprezentarea aX+baX+b, iar reprezentarea este unică.
42 puncte
Calculăm (X+3)2(X+3)^2 în KK. Avem (X+3)2=X2+6X+9(X+3)^2 = X^2 + 6X + 9. Reducem modulo f(X)=X2+2f(X)=X^2+2: X2≡−2(modf(X))X^2 \equiv -2 \pmod{f(X)}. Atunci (X+3)2≡(−2)+6X+9=6X+7(X+3)^2 \equiv (-2) + 6X + 9 = 6X + 7. În Z5\mathbb{Z}_5, 6≡16 \equiv 1 și 7≡27 \equiv 2, deci rezultatul este 1X+2=X+21X + 2 = X+2 în KK.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.