MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot), unde operațiile sunt adunarea și înmulțirea modulo 6. Determinați elementele inversabile în acest inel și demonstrați că Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Listăm elementele mulțimii Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}.
23 puncte
Determinăm elementele inversabile: un element x∈Z6x \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă există y∈Z6y \in \mathbb{Z}_6 astfel încât x⋅y≡1(mod6)x \cdot y \equiv 1 \pmod{6}. Verificăm: 1⋅1=11 \cdot 1 = 1, 5⋅5=25≡1(mod6)5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{6}, iar pentru 2,3,42,3,4, nu există inverse deoarece gcd⁡(2,6)=2\gcd(2,6)=2, gcd⁡(3,6)=3\gcd(3,6)=3, gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2. Deci elementele inversabile sunt 11 și 55.
33 puncte
Pentru a demonstra că Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp, observăm că într-un corp, orice element nenul are invers. În Z6\mathbb{Z}_6, elementul 22 este nenul, dar nu are invers, deoarece nu există yy astfel încât 2⋅y≡1(mod6)2 \cdot y \equiv 1 \pmod{6}.
42 puncte
Concluzionăm că Z6\mathbb{Z}_6 este inel, dar nu este corp, deoarece nu toate elementele nenule sunt inversabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.