MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Fie inelul Z[i]\mathbb{Z}[i] al întregilor lui Gauss. Arătați că elementul 2+i2+i este ireductibil în Z[i]\mathbb{Z}[i]. Determinați dacă idealul generat de 2+i2+i este maximal.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru a arăta că 2+i2+i este ireductibil, considerăm o factorizare 2+i=ab2+i = ab cu a,b∈Z[i]a,b \in \mathbb{Z}[i]. Calculăm norma: N(2+i)=22+12=5N(2+i) = 2^2 + 1^2 = 5. Dacă ab=2+iab=2+i, atunci N(a)N(b)=5N(a)N(b)=5, deci normele sunt 1 și 5 sau 5 și 1.
23 puncte
În Z[i]\mathbb{Z}[i], elementele cu norma 1 sunt unitățile: ±1,±i\pm 1, \pm i. Deci dacă N(a)=1N(a)=1, atunci aa este unitate, sau dacă N(b)=1N(b)=1, atunci bb este unitate.
32 puncte
Prin urmare, orice factorizare a lui 2+i2+i implică o unitate, deci 2+i2+i este ireductibil.
42 puncte
Pentru a verifica dacă idealul (2+i)(2+i) este maximal, considerăm inelul factor Z[i]/(2+i)\mathbb{Z}[i] / (2+i). Acest inel are 5 elemente și este corp, deoarece 5 este prim în Z\mathbb{Z}, și se poate arăta că este izomorf cu Z5\mathbb{Z}_5. Deci (2+i)(2+i) este ideal maximal.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.