MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Considerăm mulțimea M={(ab0c)∣a,b,c∈Z2}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{Z}_2 \right\}, unde Z2\mathbb{Z}_2 este inelul claselor de resturi modulo 2. Pe MM se definesc adunarea și înmulțirea matricelor obișnuite, cu operațiile pe elemente făcute modulo 2. Stabiliți dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel și, în caz afirmativ, dacă este un corp. Identificați, dacă există, divizori ai lui zero în MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea operațiilor. Adunarea: pentru (ab0c),(xy0z)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} \in M, suma este (a+xb+y0c+z)∈M\begin{pmatrix} a+x & b+y \\ 0 & c+z \end{pmatrix} \in M. Înmulțirea: produsul este (ab0c)(xy0z)=(axay+bz0cz)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & ay+bz \\ 0 & cz \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Verificăm axiomele de inel pentru adunare: asociativitatea și comutativitatea rezultă din proprietățile adunării matricelor și modulo 2; elementul neutru este (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}; inversul aditiv pentru (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} este (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} însuși, deoarece −a=a-a = a modulo 2.
33 puncte
Verificăm axiomele pentru înmulțire: asociativitatea se deduce din asociativitatea înmulțirii matricelor; elementul neutru este (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; distributivitatea față de adunare se verifică prin calcul.
42 puncte
Verificăm dacă este corp. Pentru a fi corp, fiecare matrice nenulă (ab0c)≠(0000)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} trebuie să aibă invers multiplicativ. Căutăm (xy0z)\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} astfel încât (ab0c)(xy0z)=(1001)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Obținem sistemul: ax=1ax = 1, ay+bz=0ay + bz = 0, cz=1cz = 1 modulo 2. Deoarece Z2\mathbb{Z}_2 este corp, aa și cc trebuie să fie 1 pentru a avea soluție. Dacă a=0a=0 sau c=0c=0, matricea nu are invers (de exemplu, (0101)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}), deci MM nu este corp. Divizori ai lui zero: (0100)⋅(0001)=(0000)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.