MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Considerăm inelul polinoamelor R[x]\mathbb{R}[x] peste corpul numerelor reale. Fie I={f(x)∈R[x]∣f(1)=0}I = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x] \mid f(1) = 0 \}. a) Arătați că II este un ideal al inelului R[x]\mathbb{R}[x]. b) Determinați dacă inelul factor R[x]/I\mathbb{R}[x]/I este un corp. c) Găsiți un reprezentant canonic de grad minim pentru clasa polinomului x2+2x+1x^2 + 2x + 1 în R[x]/I\mathbb{R}[x]/I.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a demonstra că II este ideal, se verifică că pentru orice f,g∈If,g \in I, f−g∈If-g \in I, și pentru orice f∈If \in I și h∈R[x]h \in \mathbb{R}[x], f⋅h∈If \cdot h \in I. Din f(1)=0f(1)=0 și g(1)=0g(1)=0, rezultă (f−g)(1)=0(f-g)(1)=0, deci f−g∈If-g \in I. Similar, (f⋅h)(1)=f(1)⋅h(1)=0⋅h(1)=0(f \cdot h)(1) = f(1) \cdot h(1) = 0 \cdot h(1) = 0, deci f⋅h∈If \cdot h \in I.
24 puncte
Inelul factor R[x]/I\mathbb{R}[x]/I este izomorf cu R\mathbb{R} prin aplicația ϕ:R[x]→R\phi: \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}, ϕ(f)=f(1)\phi(f) = f(1). Nucleul este II, iar ϕ\phi este surjectiv, deci R[x]/I≅R\mathbb{R}[x]/I \cong \mathbb{R}, care este un corp.
32 puncte
Polinomul x2+2x+1x^2 + 2x + 1 evaluat în 1 dă 12+2⋅1+1=41^2 + 2\cdot1 + 1 = 4. În R[x]/I\mathbb{R}[x]/I, polinoamele sunt echivalente dacă au aceeași valoare în 1. Un reprezentant canonic de grad minim este constanta egală cu valoarea, deci 44.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.