MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Fie inelul Z5\mathbb{Z}_5 cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 5. Arătați că Z5\mathbb{Z}_5 este un corp. Apoi, rezolvați sistemul de ecuații liniare în Z5\mathbb{Z}_5: [ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \ x + 4y = 2 \end{cases} ]

Rezolvare completă

30 puncte · 9 pași
14 puncte
Verificați că Z5\mathbb{Z}_5 este inel comutativ cu unitate: elementul neutru la adunare este 0, la înmulțire este 1; comutativitatea și asociativitatea rezultă din proprietățile operațiilor modulo.
23 puncte
Arătați că fiecare element nenul din Z5\mathbb{Z}_5 are invers: inversele sunt 1→1, 2→3, 3→2, 4→4, deci Z5\mathbb{Z}_5 este corp.
33 puncte
Rezolvați sistemul. Din a doua ecuație, x=2−4y=2+yx = 2 - 4y = 2 + y în Z5\mathbb{Z}_5. Înlocuiți în prima: 2(2+y)+3y=1⇒4+2y+3y=1⇒5y=−3≡2mod  52(2+y) + 3y = 1 \Rightarrow 4 + 2y + 3y = 1 \Rightarrow 5y = -3 \equiv 2 \mod 5. Cum 5≡05 \equiv 0, corectați: 4+5y=1⇒5y=−3≡2mod  54 + 5y = 1 \Rightarrow 5y = -3 \equiv 2 \mod 5, dar 5y≡05y \equiv 0, deci ecuația devine 0=20 = 2, contradicție. Verificați: 2x+3y=12x+3y=1 și x+4y=2x+4y=2. Din x+4y=2x+4y=2, x=2−4y=2+yx=2-4y=2+y. Atunci 2(2+y)+3y=4+2y+3y=4+5y=4+0=4≠12(2+y)+3y=4+2y+3y=4+5y=4+0=4 \neq 1. Recalculați: în Z5\mathbb{Z}_5, 4≡44 \equiv 4, deci 4=14=1 nu este adevărat. Corect: 2(2+y)+3y=4+2y+3y=4+5y=4+0=4≡4mod  52(2+y)+3y=4+2y+3y=4+5y=4+0=4 \equiv 4 \mod 5, iar 4≠14 \neq 1. Așadar, sistemul nu are soluție? Verificați inversele: 2x+3y=12x+3y=1 și x+4y=2x+4y=2. Înmulțiți a doua cu 2: 2x+8y=42x+8y=4. Scădeți prima: (2x+8y)−(2x+3y)=4−1⇒5y=3⇒0=3(2x+8y) - (2x+3y) = 4-1 \Rightarrow 5y=3 \Rightarrow 0=3, contradicție. Deci sistemul nu are soluție în Z5\mathbb{Z}_5. Baremiul corect:
14 puncte
Demonstrați că Z5\mathbb{Z}_5 este corp.
23 puncte
Scrieți sistemul și observați că nu are soluție prin calcul direct sau determinant.
33 puncte
Concluzia că sistemul este incompatibil. Revizuire: Sistemul are soluție? Calcul determinant: det⁡=2⋅4−3⋅1=8−3=5≡0mod  5\det = 2\cdot4 - 3\cdot1 = 8-3=5 \equiv 0 \mod 5, deci sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat. Rezolvați: Din x+4y=2x+4y=2, x=2−4y=2+yx=2-4y=2+y. Înlocuiți: 2(2+y)+3y=4+2y+3y=4+5y=42(2+y)+3y=4+2y+3y=4+5y=4. Pentru 4=14=1 în Z5\mathbb{Z}_5, 4≡44 \equiv 4, deci 4=14=1 este fals. Așadar, nu există yy care să satisfacă, deci sistemul nu are soluție. Baremiul final:
14 puncte
Arătați că Z5\mathbb{Z}_5 este corp verificând axiomale.
23 puncte
Calculați determinantul sistemului în Z5\mathbb{Z}_5 și observați că este 0.
33 puncte
Demonstrați că sistemul este incompatibil prin încercarea de rezolvare sau analiză.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.