MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie F=Z3F = \mathbb{Z}_3 corpul cu trei elemente. Se consideră mulțimea A={(ab0a)∣a,b∈Z3}A = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{Z}_3 \right\} cu operațiile de adunare și înmulțire de matrice. a) Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel. b) Determinați elementele inversabile din inelul A. c) Este A un corp? Argumentați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Adunarea: pentru orice (ab0a),(cd0c)∈A\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c \end{pmatrix} \in A, suma este (a+cb+d0a+c)∈A\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ 0 & a+c \end{pmatrix} \in A. Se verifică că (A,+)(A, +) este grup abelian cu element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și comutativitate.
23 puncte
Înmulțirea: produsul este (ab0a)(cd0c)=(acad+bc0ac)∈A\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad+bc \\ 0 & ac \end{pmatrix} \in A. Se verifică asociativitatea înmulțirii și distributivitatea față de adunare.
32 puncte
Un element (ab0a)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} este inversabil dacă există (xy0x)∈A\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix} \in A astfel încât (ab0a)(xy0x)=(1001)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Aceasta implică ax=1ax = 1 în Z3\mathbb{Z}_3, deci a≠0a \neq 0. Elementele inversabile sunt cele cu a∈{1,2}a \in \{1,2\}.
42 puncte
Deoarece există elemente nenule care nu sunt inversabile (de exemplu, (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} are a=0a=0, deci nu este inversabil), inelul A nu este corp. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.