MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z3}A = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}_3\}, unde Z3\mathbb{Z}_3 este inelul claselor de resturi modulo 3. Pe AA se definesc operațiile de adunare și înmulțire astfel: pentru orice x=a+b2,y=c+d2∈Ax = a + b\sqrt{2}, y = c + d\sqrt{2} \in A, x+y=(a+c)+(b+d)2x + y = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} și x⋅y=(ac+2bd)+(ad+bc)2x \cdot y = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}, unde adunarea și înmulțirea coeficienților se fac modulo 3. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel și, în caz afirmativ, dacă este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea operațiilor. Pentru adunare: a+c,b+d∈Z3a+c, b+d \in \mathbb{Z}_3, deci x+y∈Ax+y \in A. Pentru înmulțire: ac+2bd,ad+bc∈Z3ac+2bd, ad+bc \in \mathbb{Z}_3, deci x⋅y∈Ax \cdot y \in A.
23 puncte
Verificăm axiomele de inel pentru adunare: asociativitatea (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z = x+(y+z) rezultă din asociativitatea adunării modulo 3; comutativitatea x+y=y+xx+y=y+x; elementul neutru este 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}; inversul aditiv pentru x=a+b2x = a+b\sqrt{2} este −x=(−a)+(−b)2-x = (-a) + (-b)\sqrt{2} modulo 3.
33 puncte
Verificăm axiomele pentru înmulțire: asociativitatea (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z)(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) se demonstrează prin calcul direct folosind proprietățile modulo 3; elementul neutru este 1=1+021 = 1 + 0\sqrt{2}; distributivitatea x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z se verifică prin expandare.
42 puncte
Verificăm dacă este corp. Pentru a fi corp, fiecare element nenul x=a+b2≠0x = a+b\sqrt{2} \neq 0 trebuie să aibă invers multiplicativ y=c+d2y = c+d\sqrt{2} astfel încât x⋅y=1x \cdot y = 1. Aceasta conduce la sistemul: ac+2bd=1ac + 2bd = 1 și ad+bc=0ad + bc = 0 modulo 3. Analizând cazurile pentru a,b∈Z3a, b \in \mathbb{Z}_3 cu (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0), se constată că există elemente nenule fără invers (de exemplu, 1+21+\sqrt{2} nu are invers deoarece sistemul nu are soluție), deci AA nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.