MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este inel comutativ cu unitate. Este AA corp? Justificați. Rezolvați în AA ecuația x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică că AA este parte stabilă față de adunare și înmulțire: pentru a1+b12,a2+b22∈Aa_1 + b_1\sqrt{2}, a_2 + b_2\sqrt{2} \in A, suma (a1+a2)+(b1+b2)2∈A(a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in A și produsul (a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈A(a_1a_2+2b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2} \in A. Adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2} și fiecare element a+b2a+b\sqrt{2} are opusul (−a)+(−b)2∈A(-a) + (-b)\sqrt{2} \in A.
23 puncte
Înmulțirea este asociativă și comutativă (deoarece operațiile sunt cele obișnuite pe numere reale). Elementul neutru pentru înmulțire este 1=1+02∈A1 = 1 + 0\sqrt{2} \in A. Distributivitatea înmulțirii față de adunare se verifică folosind proprietățile numerelor reale.
32 puncte
Din pașii anteriori, (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este inel comutativ cu unitate. AA nu este corp, deoarece nu orice element nenul are invers în AA: de exemplu, 2=2+02∈A2 = 2 + 0\sqrt{2} \in A, 2≠02 \neq 0, dar inversul său 12∉A\frac{1}{2} \notin A, deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
42 puncte
Ecuația x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0 se descompune (x−1)(x−2)=0(x-1)(x-2)=0. Soluțiile sunt x1=1=1+02∈Ax_1 = 1 = 1+0\sqrt{2} \in A și x2=2=2+02∈Ax_2 = 2 = 2+0\sqrt{2} \in A.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.