MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie K=Z3K = \mathbb{Z}_3 corpul claselor de resturi modulo 3. Considerăm mulțimea M={(abcd)∣a,b,c,d∈K}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a, b, c, d \in K \right\} a matricelor pătrate de ordin 2 cu elemente din KK. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Determinați dacă acest inel este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că (M,+)(M, +) este grup abelian: adunarea matricelor este asociativă și comutativă, există matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ca element neutru, iar pentru orice A=(abcd)∈MA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M, opusa este −A=(−a−b−c−d)-A = \begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{pmatrix}, unde −a,−b,−c,−d-a, -b, -c, -d sunt inversele aditive în KK.\n
23 puncte
Verificăm proprietățile înmulțirii: asociativitatea (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) și distributivitatea față de adunare, A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C și (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C, pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, folosind operațiile din KK.\n
32 puncte
Există element unitate: matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este neutru pentru înmulțire, deoarece I2⋅A=A⋅I2=AI_2 \cdot A = A \cdot I_2 = A pentru orice A∈MA \in M.\n
42 puncte
Determinăm că MM nu este corp: există divizori ai lui zero în MM, de exemplu, pentru A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0001)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, avem A⋅B=(0000)A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, deși A≠0A \neq 0 și B≠0B \neq 0. Prin urmare, AA nu este inversabilă, așa că nu toate elementele nenule din MM au inverse, deci MM nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.