MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Fie inelul Z7={0,1,2,3,4,5,6}\mathbb{Z}_7 = \{0,1,2,3,4,5,6\} cu adunarea și înmulțirea modulo 7. a) Demonstrați că Z7\mathbb{Z}_7 este un corp. b) Rezolvați în Z7\mathbb{Z}_7 sistemul de ecuații: {2x+3y=1x+2y=4\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x + 2y = 4 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează că Z7\mathbb{Z}_7 este corp: (Z7,+)(\mathbb{Z}_7, +) este grup abelian cu element neutru 0, deoarece adunarea modulo 7 este internă, asociativă, comutativă, are element neutru 0 și fiecare element are invers aditiv. (Z7∗,⋅)(\mathbb{Z}_7^*, \cdot), unde Z7∗=Z7∖{0}\mathbb{Z}_7^* = \mathbb{Z}_7 \setminus \{0\}, este grup abelian deoarece înmulțirea modulo 7 este internă, asociativă, comutativă, are element neutru 1, și fiecare element nenul are invers multiplicativ (de exemplu, inversul lui 2 este 4 deoarece 2⋅4=8≡1(mod7)2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}).
24 puncte
Se rezolvă sistemul. Din a doua ecuație, x=4−2yx = 4 - 2y. Substituind în prima ecuație: 2(4−2y)+3y=1⇒8−4y+3y=1⇒8−y=1⇒y=8−1=7≡0(mod7)2(4 - 2y) + 3y = 1 \Rightarrow 8 - 4y + 3y = 1 \Rightarrow 8 - y = 1 \Rightarrow y = 8 - 1 = 7 \equiv 0 \pmod{7}. Deci y=0y = 0. Atunci x=4−2⋅0=4x = 4 - 2 \cdot 0 = 4. Se obține soluția x=4,y=0x=4, y=0.
33 puncte
Se verifică soluția: pentru x=4,y=0x=4, y=0, prima ecuație devine 2⋅4+3⋅0=8≡1(mod7)2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 8 \equiv 1 \pmod{7}, iar a doua ecuație devine 4+2⋅0=44 + 2 \cdot 0 = 4, corect. Deci soluția este validă în Z7\mathbb{Z}_7.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.