MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Se consideră inelul Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3\mathbb{Z}_3. Arătați că polinomul p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1 este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și demonstrați că inelul factor Z3[x]/(p(x))\mathbb{Z}_3[x]/(p(x)) este un corp. Determinați toate elementele acestui corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm ireductibilitatea lui p(x)p(x) peste Z3\mathbb{Z}_3. Calculăm p(0)=1p(0)=1, p(1)=12+1=2p(1)=1^2+1=2, p(2)=22+1=4+1=5≡2mod  3p(2)=2^2+1=4+1=5 \equiv 2 \mod 3. Deoarece p(a)≠0p(a) \neq 0 pentru orice a∈Z3a \in \mathbb{Z}_3, polinomul de grad 2 nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3, deci este ireductibil.
24 puncte
Într-un inel de polinoame peste un corp, dacă p(x)p(x) este ireductibil, atunci idealul (p(x))(p(x)) este maximal. În Z3[x]\mathbb{Z}_3[x], (p(x))(p(x)) este ideal maximal, deci inelul factor Z3[x]/(p(x))\mathbb{Z}_3[x]/(p(x)) este un corp.
34 puncte
Elementele corpului Z3[x]/(p(x))\mathbb{Z}_3[x]/(p(x)) sunt clasele de resturi ale polinoamelor modulo p(x)p(x). Orice polinom poate fi redus la un polinom de grad cel mult 1 prin împărțire la p(x)p(x). Astfel, elementele sunt de forma a+bxa + bx cu a,b∈Z3a,b \in \mathbb{Z}_3, unde x2=−1≡2mod  3x^2 = -1 \equiv 2 \mod 3. Cele 9 elemente sunt: 0,1,2,x,1+x,2+x,2x,1+2x,2+2x0, 1, 2, x, 1+x, 2+x, 2x, 1+2x, 2+2x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.