MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameNumere Complexe
Fie R[x]\mathbb{R}[x] inelul polinoamelor cu coeficienți reali. Se consideră polinomul q(x)=x2+1q(x) = x^2 + 1. Demonstrați că q(x)q(x) este ireductibil în R[x]\mathbb{R}[x]. Apoi, definim mulțimea I={f(x)∈R[x]∣f(i)=0}I = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x] \mid f(i) = 0 \}, unde ii este unitatea imaginară. Arătați că II este un ideal în R[x]\mathbb{R}[x] și discutați dacă inelul factor R[x]/I\mathbb{R}[x]/I este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Polinomul q(x)=x2+1q(x) = x^2 + 1 are discriminantul Δ=02−4⋅1⋅1=−4<0\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4 < 0, deci nu are rădăcini reale și este ireductibil în R[x]\mathbb{R}[x].
24 puncte
Mulțimea II este ideal: pentru orice f(x),g(x)∈If(x), g(x) \in I, avem f(i)=0f(i)=0 și g(i)=0g(i)=0, deci (f+g)(i)=f(i)+g(i)=0(f+g)(i)=f(i)+g(i)=0, așadar f(x)+g(x)∈If(x)+g(x) \in I. Pentru orice h(x)∈R[x]h(x) \in \mathbb{R}[x], (f⋅h)(i)=f(i)⋅h(i)=0⋅h(i)=0(f \cdot h)(i) = f(i) \cdot h(i) = 0 \cdot h(i) = 0, deci f(x)⋅h(x)∈If(x) \cdot h(x) \in I. În plus, II coincide cu idealul generat de q(x)q(x), adică I=(x2+1)I = (x^2+1).
33 puncte
Deoarece q(x)q(x) este ireductibil în R[x]\mathbb{R}[x], idealul I=(x2+1)I = (x^2+1) este maximal. Conform teoremei, inelul factor R[x]/I\mathbb{R}[x]/I este un corp, izomorf cu corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.