MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Costul de producție al unui produs este dat de C(x)=100+50x+0.1x2C(x) = 100 + 50x + 0.1x^2, iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x, unde xx este numărul de unități produse. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Funcția de venit: R(x)=x⋅p(x)=x(200−0.5x)=200x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(200 - 0.5x) = 200x - 0.5x^2. Profitul: P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(100+50x+0.1x2)=150x−0.6x2−100P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (100 + 50x + 0.1x^2) = 150x - 0.6x^2 - 100.
24 puncte
Derivata: P′(x)=150−1.2xP'(x) = 150 - 1.2x. Setăm P′(x)=0⇒150−1.2x=0⇒x=1501.2=125P'(x) = 0 \Rightarrow 150 - 1.2x = 0 \Rightarrow x = \frac{150}{1.2} = 125.
33 puncte
Verificăm maximul: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci x=125x=125 este punct de maxim.
41 punct
Profitul maxim: P(125)=150⋅125−0.6⋅1252−100=18750−9375−100=9275P(125) = 150 \cdot 125 - 0.6 \cdot 125^2 - 100 = 18750 - 9375 - 100 = 9275.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.